Fisher-Rao度量下概率单纯形上随机梯度游走的期望到达时间是否指数增长？能否通过修正度量多项式控制？
设 $\mathcal{P}_n$ 是 $n$ 维概率单纯形，装备 Fisher-Rao 度量 $g_{\text{Fisher}}$。考虑从初始分布 $P_0 \in \mathcal{P}_n$ 到目标分布 $Q \in \mathcal{P}_n$ 的随机游走： $ dP_t = -\nabla_{g_{\text{Fisher}}} D_{\text{KL}}(P_t \| Q) dt + \sqrt{2D} \, dW_t $ 其中 $D_{\text{KL}}$ 是 KL 散度，$D > 0$ 是扩散系数，$W_t$ 是标准布朗运动。问题是：当 $n \to \infty$ 时，随机游走到达目标分布 $Q$ 的期望时间如何估计？特别地，当 $Q$ 是峰值分布（某一分量接近 $1$）而 $P_0$ 是均匀分布时，期望时间是否随 $n$ 指数增长？如果装备某种修正度量 $\tilde{g}$，能否使得期望时间的增长被控制在多项式范围内？
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